좌표평면에서 원 \(C: x^2+y^2=4\) 위의 제1사분면에 있는 점 \(\mathrm{P}(t, \sqrt{4-t^2})\) (\(0 \lt t \lt 2\))에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하고, 점 \(\mathrm{P}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 하자.

삼각형 \(\mathrm{PHQ}\)의 넓이를 \(S(t)\)라 하고, 점 \(\mathrm{P}\)에서 직선 \(x=2\)에 내린 수선의 길이를 \(d(t)\)라 할 때, 극한값 \[ \lim_{t \to 2^-} \frac{S(t)}{\{d(t)\}^{3/2}} \] 의 값을 구하시오. (단, 답안 작성 시 접선의 방정식, 각 점의 좌표, \(S(t)\)와 \(d(t)\)의 식을 명확히 제시하시오.)

어느 산업 단지에서 밑면의 가로와 세로의 길이의 비가 \(1:2\)인 직육면체 모양의 뚜껑이 없는 수조를 제작하려고 한다.

이 수조의 부피가 \(36\,\mathrm{m^3}\)로 일정할 때, 수조를 제작하는 데 필요한 재료의 겉넓이의 최솟값과 그때의 밑면의 가로의 길이를 구하시오. (단, 재료의 두께는 무시하며, 풀이 과정에서 도함수를 이용한 증감 조사를 표 또는 서술로 반드시 명시하시오.)

첫째항이 \(a_1=1\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(k\)에 대하여 다음 점화식을 만족시킨다. \[ a_{2k} = a_k + 2, \quad a_{2k+1} = 2a_k - 1 \] 이때 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(63\)항까지의 합 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{63} a_n\)의 값을 구하시오. (단, 이진 트리 형태의 짝수·홀수 인덱스 분할 구조를 활용하여 단계별로 합을 유도하시오.)

수열의 극한값 \[ L = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2} e^{k/n} \] 에 대하여, 제시문 [가]의 정적분의 정의와 제시문 [나]의 부분적분법을 순서대로 적용하여 극한값 \(L\)을 구하시오. (단, 피적분함수의 설정과 부분적분 전개 과정을 명시하시오.)